http://www.toutankharton.com/Trigonometrie
Nous ne reprendrons pas ici toutes les notions trigonométriques mais nous allons voir en quoi la mentalité pharaonique diffère de notre conception euclidienne).
Principes de base
Principe du dédoublement de l’Unité
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig_1.gif "GIF - 839 octets")
Figure 1
Cette conception que nous avons, fait que deux droites qui se croisent en un point forment pour nous un angle. Les pharaoniques sont eux, plus intrigués par le point de jonction et les deux droites : ils y voient une articulation, et une cause du dédoublement.
Dès lors, avec le problème pris sous l’angle de la scission, la philosophie de la fonction mystique Φ sera envisagée sous un aspect trigonométrique, comme elle l’est dans tous les aspects de la nature : branche, articulation du coude ou du genoux, etc ...
Si un côté vaut 1 l’autre vaudra Φ ou 1/Φ, ou une fonction de Φ, comme il en est des articulations du corps humain :
Sur ce schéma, une des branches de l’angle vaut 1, et l’autre Φ. L’écartement sera alors √Φ : c’est l’angle qu’on constate dans la pyramide de Cheops et dont l’application géométrique est représentée dans la pyramide de Chephren, et sera 3 : 5, premier rapport effectif des suite Fibonacci de 1/Φ : cet écartement, ou mesure de l’angle sera 4 géométriquement, et √Φ mystiquement :
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2Ffig2.gif "GIF - 1.1 ko")
Figure 2
L’utilisation de la division du cercle
Dans notre conception euclidienne, le cercle sert à une mesure d’angle sur un arc en degré-minute-seconde. Pour le mathématicien pharaonique, le cercle est un cycle mesurant le temps, et ne peut donc servir à la mesure d’un angle quelconque.
Dès lors, la trigonométrie égyptienne note l’angle par la proportion que définit le rapport entre le grand côté et la cathète d’un triangle rectangle. L’hypothénuse devient alors une visée vers la cathète en accordant par exemple la valeur 1 au grand côté du triangle. Dans la visée, la cathète croît alors jusqu’à égalité avec la longueur valant 1 du grand côté, donnant ainsi une proportion qui se notera : 1 / n
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig3.gif "GIF - 2.3 ko")
Figure 3
Sur le schéma ci-dessus, avec le système de notation 1/n (à gauche), la base B du triangle est prise comme invariable, alors que dans notre système euclidien actuel (à droite), qui lit les angles en « sinus » et « cosinus », c’est le rayon qui reste invariableet ce sont les valeurs A ou A1 des sinus ou B et B1 des cosinus qui varient selon l’angle.
Avantages de la notation proportionnelle
Ce système de notation a l’avantage d’éviter la notion d’infini de la tangente à 90°, que notre système de lecture actuel des angles implique : la tangente finissant en parallèles euclidienne est donc inconcevable pour le mathématicien pharaonique. L’angle se lit du rapport 1/0 au rapport 1/1 en passant par toutes les fractions 1/n nécessaires. L’angle 1/1 lu en visée horizontale sera complété par l’angle 1/1 lu en visée verticale : de cette facon, le mathématicien égyptien évite les irrationnels dans le calcul pratique, comme le montre ce schéma :
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig4.gif "GIF - 1.4 ko")
Figure 4
Comment calculer un angle à 45° ? Les égyptiens diraient : “Fais croître A pour trouver 1” (1=B sur le schéma ci-dessus) et nous retrouvons le mode d’expression fractionnaire utilisé en Egypte. Il suffit alors de les comparer entre elles,comme vu dans l’articlefraction ou papyrus Rhind :
¼ ½ ½ + ¼ 1
où 1 = 4 quarts
1 2 3 4
Le rapport 1/1 est ce que nous appelons de nos jours un angle à 45°, ou si on préfère 1/8 de cercle, ou encore la moitié d’un angle droit.Ainsi, la proportionnalité qui définit l’angle désigne tout autant le sinus que la tangente, et permet donc de travailler avec des nombres entiers exprimés sous forme de fractions (ou rapports).
Dans la pratique, pour calculer par exemple le fruit d’une pyramide, le scribe donne un rapport quelconque entre la base et la hauteur, puis ramène ensuite ce rapport à 1/n, ce qui lui permet d’établir ce rapport en coudées et paumes (voir article coudées).
Ainsi, un des côtés du triangle est toujours ramené à l’unité, l’autre côté étant transformé (et pris) comme une partie de cette unité. Les carrés de ces parties sont des surfaces, en fonction de cet angle = la fonction d’un angle est le passage d’une surface à l’autre . C’est ce que montre le schéma ci-dessous :
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig5.gif "GIF - 2.1 ko")
Figure 5
Sur la figure suivante, le carré de B est égal au gnomon de A. La largeur de ce gnomon est la différence entre l’hypothénuse et la base du triangle, donc entre la lecture de l’angle en sinus et en tangente.
Enfin, avec cette notation, si l’hypothénuse (ou visée) représente le rayon d’un cercle, la lecture est équivalente à ce que nous appelons sinus, et si c’est le grand côté du triangle qui représente le rayon du cercle, nous avons une lecture en tangente.
Théorème de Pythagore
Le côté d’un carré est toujours à regarder comme l’hypothénuse d’un triangle rectangle, et cette hypothénuse est donc la racine du carré, considérée comme valant 1. Elle est aussi diamètre d’un demi-cercle : chaque moment relié aux extrémités de ce diamètre constitue toujours un triangle rectangle.
Tous les triangles rectangles possibles peuvent s’inscrire dans la moitié de ce demi-cercle dont le diamètre est leur hypothénuse : c’est l’image limite de tous les triangles rectangles. L’abaissement de la hauteur de ces triangles rectangles sur l’hypothénuse constitue alors le moyen terme géométrique entre les valeurs extrêmes, donc les deux fractions déterminées sur cette hypothénuse (diamètre du demi cercle
L’hypothénuse C, qui est diamètre, sera toujours considérée comme valant 1, et sera également à considérer comme étant C² :
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig_6.gif "GIF - 2.8 ko")
Figure 6
La perpendiculaire abaissée sur l’hypothénuse détermine deux triangles rectangles semblables au triangle initial, et en considérant toujours l’hypothénuse C comme valant 1 et comme côté d’un carré valant 1² aura les conséquences suivantes :
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2Fdist%2Fpuce.gif)
dans le triangle ABC, les côtés A et B sont des fractions de l’unité
la perpendiculaire AB divise l’hypothénuse C en deux segments qui sont entre eux comme les carrés de A et de B, de sorte qu’on trouve ici, le théorème dit de Pythagore sous sa démonstration linéaire, puisque :
A² + B² = C²
la hauteur AB est un nombre rectangulaire qui aura pour valeur le produit des côtés A et B. Cette hauteur AB étant un moyen géométrique entre le petit segment A² et le plus grand B², la figure démontre bien qu’un nombre rectangulaire est toujours un moyen géométrique entre les carrés des deux nombres qui le composent.
Les angles
De nos jours, l’addition et la soustraction d’angles se fait en degré-minute-seconde d’un cercle. La notation proportionnelle 1/n utilisée par les pharaoniques semble présenter une difficulté : est-il possible d’additionner ou soustraire des angles notés 1/n, sachant qu’on ne peut les considérer comme de simples fractions ?
Prenons un exemple simple : additionner ¼ et 2/5. Le scribe passe par une représentation géométrique :
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig_7.gif "GIF - 2.1 ko")
Figure 7
Sur notre schéma, la base AB est bien égale à 1, et la cathète de chaque triangle vaut bien respectivement ¼ et 2/5.
Or la base AB doit nécessairement pouvoir se subdiviser en un nombre de parties égal au produit des deux dénominateurs, et donc ici 4X5 =20. Les cathètes deviennent donc 5 pour le triangle BAD et 8 pour le triangle BAC.
Pour faire la somme des triangles BAD et BAC, le scribe mène la perpendiculaire sur l’hypothénuse de l’un deux en BE (figure ci-dessous) : cette perpendiculaire divise le triangle BAC en deux triangles semblables BAE et EBC. Il mène ensuite la parallèle à cette perpendiculaire en DF de sorte qu’elle forme un triangle rectangle dont l’angle DAF est bien la somme des deux angles donnés. La longueur OB soustraite de la longueur d’origine AB est forcément 2 puisque 2/5= OB/BD
Dès lors, pour l’addition de deux angles, on peut exposer la formule suivante où les dénominateurs sont plus grands que les numérateurs :
a/c + c/d = (ad + bc) / (bd - ac) sur notre exemple : ¼ + 2/5 = (5+8) / (20-2) = 13/18
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2Ffig8.gif "GIF - 3 ko")
Figure 8
Pour faire une soustraction de deux angles le procédé est similaire. Par exemple, soustraire ¼ (BAC) de ¾ (DAB), sur le schéma ci-dessous revient à ôter l’angle BAC (=1/4) à l’angle DAB (=3/4). Le scribe mène d’abord la perpendiculaire CF sur le côté AD, et la prolonge en CE vers le prolongement de AB. Le segment BE ainsi obtenu est égal à 3 comme le segment BC = 4 . Le nouveau triangle obtenu CAF a pour cathète 12 - 4 =8 et pour base 16 + 3=19. La formule générale est donc :
a/b - c/d = (ad-bc) / ( bd+ac) et dans notre exemple : ¾ - ¼ = (12-4)/(16+3)= 8/19
/http%3A%2F%2Fwww.toutankharton.com%2FIMG%2Fgif%2FFig_9.gif "GIF - 2.7 ko")
Figure 9
Les deux formules vues ci-dessus s’appliquent pour n’importe quelle addition ou soustraction d’angles exprimés en notation proportionnelle.
Conclusions
Nous avons vu comment le scribe aborde les notions trigonométriques, en restant cohérent avec le mythe : dédoublement de l’Unité, rapports angulaires considérés comme des rapports proportionnels qui permet d’éviter la notions d’infini....
La notation des angles en rapports proportionnels amène et permet les mêmes « jeux » que ceux abordés au sujet des fractions ou du Papyrus Rhind : à savoir le rapprochement avec les rapports harmoniques, qui président à toute construction.
Chaque monument est à rapprocher de ces principes, et est finalement l’expression des rapports de Φ, expression de la « vie ». C’est en cela qu’on peut dire que chaque monument égyptien est un « geste », mais un geste complet, total, qui exprime par le volume (=le monument) la pensée de cette civilisation.
Plus concrètement, par exemple, l’étude des pyramides de Snefrou, sur le plan mathématique, montre le lien entre la pyramide « idéale » et la pyramide « rhomboïdale » dont la structure résulte de la fonction Φ, et est en relation avec le canon humain. Les rapports qui sont exprimés par ces deux monuments annoncent et expriment un principe de construction, qui sera appliqué pour la pyramide de Cheops.
Il ne s’agit pas ici d’en faire l’étude complète. Ce qu’il faut noter, c’est que la pyramide de Cheops a pour hauteur √Φ pour la demi-base valant 1 et l’apothème Φ. Pour établir ce triangle, il faut préalablement avoir construit un triangle ayant pour hauteur Φ et pour base 1.Puis, la hauteur √Φ est alors obtenue en rabattant la hauteur Φ du triangle primitif de sorte qu’elle devienne hypothénuse du nouveau triangle ayant √Φ pour hauteur : trois étapes, trois « gestes »...pour trois pyramides : ce sont les mêmes nombres et mêmes fonctions qui animent ces monuments, ce qui fait que chacun pris par rapport à l’autre est comme l’expression de trois moments d’une même fonction métaphysique ( => rapprochement avec la cosmogonie, le théologique, l’astronomie, etc)
